Понятие о формуле дифференцирования назад (BDF)

При анализе динамических режимов электрических цепей необходимо получить решение дифференциально–алгебраической системы уравнений:
,   (1)
где x₁, …, x_n — токи и напряжения в цепи; x'₁, …, x'_m — производные токов и напряжений.

Число производных в системе (1) может быть меньше числа неизвестных токов и напряжений, то есть  m≤n, число уравнений в системе всегда равно числу неизвестных x₁, …, x_n.

Применение явных методов интегрирования требует преобразования системы (1) к нормальному виду, который записывается следующим образом:
   (2)
и представляет собой явные уравнения состояния.

Переход от системы (1) к (2) предполагает значительное преобразование первоначальной системы с изменением количества уравнений и неизвестных величин. Избежать этого можно, применяя формулу дифференцирования назад (BDF — backward differentiation formula), которая позволяет получить решение непосредственно системы уравнений (1). BDF порядка k аппроксимирует значение x'_n+1 — производной от x(t) по времени в момент времени t = t_n+1, используя значения x_n+1 = x(t_n+1) и k предыдущих значений x: x_n, x_n-1, …, x_n-k+1.

Для принятых выше обозначений BDF имеет вид:
,   (3)
где h — текущий шаг интегрирования; α_j — коэффициенты BDF.

При неравномерном шаге интегрирования коэффициенты BDF должны вычисляться для каждого нового момента времени, формулы расчета коэффициентов приведены в [1] и [2]. При постоянном шаге интегрирования коэффициенты BDF представляют собой константы и не зависят ни от времени, ни от шага интегрирования, их значения можно найти в [3].

При k = 1 коэффициенты BDF равны: α₀ = -1 и α₁ = 1, формула при этом имеет вид
,
то есть представляет собой выражение неявного метода Эйлера.

Применение BDF при анализе электрических цепей

Перепишем выражение (3), выделив явно слагаемое с j = 0,

и применим эту формулу для уравнений связи между током и напряжением реактивных элементов в момент времени t = t_n+1.

1. Индуктивность:

.

Введя следующие обозначения
,
получаем выражение закона Ома для индуктивности в момент времени t = t_n+1
,
которому соответствует дискретная резистивная схема замещения индуктивности

Для определения E_экв необходимо знать k предыдущих значений тока i_L.

2. Емкость:

Аналогично применим BDF для уравнения связи между током и напряжением емкости
,
обозначая
,
получаем выражение закона Ома для момента времени t = t_n+1
.

Соответственно дискретная резистивная схема замещения емкости имеет вид

Для определения J_экв необходимо знать k предыдущих значений тока u_C.

3. Взаимная индуктивность:

Для элементов со взаимной индуктивностью с согласованным включением

применение BDF к уравнениям связи токов и напряжений дает следующий результат
,
вводя обозначения

и
,
приходим к выражениям
.

Последние два уравнения представляют закон Ома, в которых слагаемые и представляют собой управляемые током источники ЭДС.

Учитывая, что для напряжений вышеприведенной схемы можно записать   , то в матрице коэффициентов модифицированного метода узловых потенциалов элементы со взаимной индуктивностью будут учтены следующим образом

Таким образом применение на каждом шаге интегрирования дискретных резистивных схем замещения реактивных элементов сводит расчет переходного процесса к последовательным расчетам резистивных цепей постоянного тока. Появляющиеся в этих схемах замещения источники ЭДС и токов зависят от предыдущих состояний элементов, которые должны быть известны на глубину равную порядку k применяемой BDF. Поэтому в начале расчета, когда известны только начальные условия для токов в индуктивностях и напряжений на емкостях, возможно применение BDF только порядка k=1, а затем, запоминая необходимое количество состояний элементов, можно последовательно наращивать порядок BDF. Применение порядка k > 6 приводит к неустойчивости метода.

К началу

Литература

1.↑ Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. — М.: Энергия, 1980

2.↑ Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. — М.: Радио и связь, 1988.

3.↑ Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ. — М.: Энергоатомиздат, 1991.