Модифицированный метод узловых потенциалов (ММУП) — modified nodal analysis (MNA) — широко применяется в различных программах анализа режимов работы электрических цепей. В этом материале кратко описывается принцип составления уравнений ММУП методом поэлементного вклада.

Для начала кратко опишем принцип составления уравнений классическим методом узловых потенциалов. Рассмотрим следующий участок цепи, содержащий только ветви с проводимостями и источники тока:

Принимая за положительные направленные от узла токи, запишем для узлов n, m и p уравнения по 1-му закону Кирхгофа:

.

Подставляя в данные уравнения выражения для токов ветвей по закону Ома получаем:

.

После приведения подобных членов и переноса токов источников в правую часть уравнений получаем следующие выражения

.

Представляя полученные выражения в матричной форме, имеем

     (1)

Эти выражения и есть уравнения МУП для узлов n, m и p. Полное число уравнений, которое можно составить таким способом, равно числу узлов в схеме. Однако нужно учитывать, что для получения линейно-независимой системы число уравнений должно быть на одно меньше числа узлов в цепи. Поэтому потенциал одного из узлов принимается известным, чаще всего равным нулю, такое допущение вполне допустимо так как в выражение закона Ома входит разность потенциалов, а не абсолютная величина потенциала узла.
В системе (1) слева представлен фрагмент матрицы узловых проводимостей, а справа — часть вектора правой части (RHS) уравнений. На матрице узловых проводимостей выделена часть для узлов n, m и p расчетного участка цепи.

На примере ветви k, которая присоединена к узлам выделенного участка цепи, рассмотрим принцип составления уравнений методом поэлементного вклада. Для ветви k известны ее параметры: проводимость G_k и ток источника J_k, а так же узлы n и m, к которым она присоединена в цепи. При составлении уравнений по МУП мы должны для ветви k:

• 1. Прибавить проводимость ветви G_k к элементам матрицы узловых проводимостей с индексами n, n и m, m.
• 2. Вычесть проводимость ветви G_k из элементов матрицы узловых проводимостей с индексами n, m и m, n.
• 3. Ток источника J_k необходимо вычесть из элемента с индексом n — номер узла, от которого направлен источник — и прибавить к элементу с индексом m — номер узла, к которому направлен источник.

Если ветвь содержит последовательно соединенные сопротивление и источник ЭДС, то для применения МУП достаточно выполнить эквивалентное преобразование

Если в цепи имеются ветви нулевым сопротивлением: короткозамкнутые ветви, ветви с идеальными источниками ЭДС, то очевидно, что в уравнениях по классическому МУП появляются элементы, имеющие бесконечно большую проводимость. В таком случае приходится предварительно выполнять преобразование цепи для исключения подобных ветвей — объединение узлов короткозамкнутых ветвей, перенос идеальных источников ЭДС в смежные ветви и т.п. Также возможно введение в такие ветви небольших сопротивлений.

Избежать предварительных преобразований в указанных случаях позволяет переход в ММУП. Покажем его особенности на примере того же расчетного участка цепи, в котором внесем изменения в ветви k.

Запишем уравнения 1-го закона Кирхгофа для узлов n и m, не раскрывая ток I_k по закону Ома для ветви

.

Как видно из приведенных выражений в системе уравнений появляется кроме потенциалов узлов появляется еще одно неизвестное — ток I_k. Для получения решаемой системы необходимо дополнить ее еще одни уравнением, для этого может быть использован закон Ома для ветви k

.

Переходя к матричной форме, имеем

  (2)

Таким образом мы получили систему уравнений по модифицированному МУП. Как видно из (2) матрица коэффициентов и вектор RHS при ММУП являются гибридными, содержащими элементы различной размерности. Одним из решений этой системы будет значение тока в ветви k.

При составления уравнений для ветви с идеальным источником ЭДС необходимо в системе (2) принять R_k=0. Для короткозамкнутой ветви без источника ЭДС приравниваем нулю и E_k в RHS. В этих случаях получаем систему уравнений с нулевым диагональным элементом, которая иногда требует реорганизации матрицы коэффициентов. В пакете Sparse1.4 имеется соответствующая процедура spMNA_Preorder, которой следует обрабатывать исходную матрицу после формирования перед процедурой факторизации.

В качестве помощи в представлении различных элементов при составлении матриц ММУП будет полезна таблица, представленная в следующем материале.

К началу