В программе LazDiscret2 реализован анализ нелинейных цепей постоянного тока на основе метода Ньютона–Рафсона. Применение этого метода позволяет перейти к линеаризованным уравнениям на каждом шаге итеративного процесса приближения к искомому решению [1].

Покажем этот принцип на примере нелинейного сопротивления, то есть нелинейный резистивный элемент, имеющий однозначную характеристику U=f(I). Так как напряжение на этом элементе зависит только от протекающего по нему тока, то напряжение на k+1 шаге итерации может быть записано [2]: ^(note1),
где I_(k) и U_(k) — ток и напряжение элемента на к–том шаге итерации.

Обозначив и , приходим к выражению закона Ома

, которому соответствует резистивная эквивалентная схема

Данная схема является дискретной схемой замещения, так как ее параметры R_экв(k) и E_экв(k) корректны только для одного шага итерации.

Геометрическая интерпретация получения резистивной эквивалентной схемы приведена на следующем рисунке, на котором показано:

• • U=f(I) — кривая характеристики элемента;
• • P — рабочая точка на к–том шаге итерации;
• • AB — касательная к кривой характеристики, проведенная через точку P.

Касательная AB представляет собой вольт–амперную характеристику линейной цепи, которой может быть заменен нелинейный элемент при изменениях тока вблизи рабочей точки P. С одной стороны тангенс угла наклона ВАХ линейной цепи пропорционален сопротивлению этой цепи, с другой — тангенс угла наклона касательной к кривой графика функции пропорционален производной этой функции, откуда вытекает выражение для R_экв(k). Выражение для легко E_экв(k) получается, исходя из геометрических соотношений, которые видны на рисунке.

Для нелинейной проводимости, имеющей однозначную характеристику I=f(U), дискретная резистивная эквивалентная схема имеет следующий вид:

Параметры элементов G_экв(k) и J_экв(k) этой схемы могут быть найдены по следующим выражениям: и .

При определении параметров эквивалентных схем необходимо вычисление значения производной функции характеристики нелинейного элемента в текущей рабочей точке. Если характеристика задана в виде таблицы, то встает задача аппроксимации этой характеристики какой-либо функцией, имеющей непрерывную первую производную. В программе LazDiscret2 применяется аппроксимация таблично–заданных характеристик кубическим сплайном [3], в этом случае условие непрерывности первой производной выполняется автоматически.

Предположим, что аппроксимация таблично–заданной нелинейной характеристики выполняется объектом spline. Для этого объект имеет метод:
spline.approximate( const px, py: TOpenFloatArray),
где px, py — массивы аргумента и значений для точек характеристики.

Интерполяция значений характеристики и ее первой производной выполняется методом–функцией этого объекта:
spline.interpolate(ax: TFloat; out dsp: TFloat): TFloat;,
которая возвращает в качестве результата значение характеристики при значении аргумента ax, а также значение первой производной в этой точке в параметре–переменной dsp.

Алгоритм расчета нелинейной цепи постоянного тока при использовании дискретных резистивных моделей упрощенно выглядит следующим образом:

//отметка о необходимости установки начального значения
modeSet += initValue;
iterCount := 0; //счетчик итераций
repeat
  //формирование матриц ММУП
  matrixSetup;
  //расчет уравнений ММУП
  matrixSolve;
  //напряжений и токов элементов
  compute;
  //проверка сходимости
  if convergence_check then break;
  iterCount += 1;
  modeSet -= initValue;
until iterCount < DCIterLimit;
if iterCount >= DCIterLimit then error; //превышение макс. числа итераций

Соответствующие процедуры для модели нелинейного сопротивления имеют следующий вид:

matrixSetup
  if initValue in modeSet then
    //установка начального значения в качестве текущего
    inew := initialValue;

  //интерполяция
  ubk := spline.interpolate(inew, reqk);
  //расчет эквивалентной ЭДС
  eeqk := ubk - reqk * inew;
 
  //формирование матриц ММУП
  ymat[pnode, eqnN] := 1.0;    ymat[nnode, eqnN] := -1.0;
  ymat[eqnN, pnode] := 1.0;    ymat[eqnN, nnode] := -1.0;
  ymat[eqnN, eqnN]  := -reqk;
  rhs[eqnN] := eeqk;
 
compute
  unew  := rhs[pnode] - rhs[nnode]; //расчет напряжения на ветви
  iold  := inew;      //сохранение предыдущего тока
  inew := rhs[eqnN];  //определение нового тока
 
convergence_check: boolean
  tol := relTol * (max(abs(iold), abs(inew))) + absTol;
  result := abs(inew - iold) < tol;

Для модели нелинейной проводимости, соответственно

matrixSetup
  if initValue in modeSet then
    //установка начального значения в качестве текущего
    unew := initialValue;
 
  ibk  := spline.interpolate(unew, geqk);
  if initValue in modeSet then
    inew := ibk;
  //расчет эквивалентного истоника тока
  jeqk := ibk - geqk * ubk;  
 
  //формирование матриц ММУП
  ymat[pnode, pnode] := geqk;   ymat[pnode, nnode] := -geqk;
  ymat[nnode, pnode] := -geqk;  ymat[nnode, nnode] := geqk;
  rhs[pnode] := -jeqk;  
  rhs[pnode] := jeqk;
 
compute
  unew := rhs[pnode] - rhs[nnode];  //расчет напряжения на ветви
  iold := inew;                //сохранение предыдущего тока
  inew := geqk * unew + jeqk;  //определение нового тока

Процедура проверки сходимости полностью совпадает аналогичной процедурой для модели нелинейного сопротивления.

(note1)

Приведенное выражение представляет собой первые два члена ряда Тейлора для f(I) относительно точки I(k):

Назад

Литература:

1.↑ Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. — М.: Энергия, 1980.

2.↑ L. W. Nagel. SPICE2: A computer program to simulate semiconductor circuits. Univ. of California, Berkley, ERL Memo ERL M520(May), 1975.

3.↑ Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ. — М.: Энергоатомиздат, 1991.